二人は出会えたか

生涯とは1つの区間である

歴史上の人物を、このゲームが必要とするものだけに削ぎ落とすと、ほとんど何も残りません。業績でもなく、名声でもなく、ただ2つの数、生まれた年と亡くなった年だけです。Leonardo da Vinciは1452–1519になり、William Shakespeareは1564–1616になります。ゲーム自身のソースでは、それぞれの生涯は生年から没年まで続く「a closed integer interval」(閉じた整数区間)とされています。¹

この閉じたという語は、実際に働いています。閉区間は両方の端点を含むので、生まれた年も亡くなった年も、生きていた年として数えられます。小さな決定ですが、目に見える帰結があります。一方が亡くなったまさにその年にもう一方が生まれたとしても、2人は「出会える」のです。ゲームはこれを意図的に組み込んでいます。最大の集団を見つけるために手札の生年と没年を年の順に走査するとき、「births are processed before deaths at the same year」(同じ年では没年より生年を先に処理する)ので、1519年に終わる生涯は、1519年に始まる生涯とかろうじて触れ合います。¹

2つの生涯は重なるか、重ならないか

2人が出会えたかと問うことは、2つの区間が1年でも共有しているかを問うことです。それを確かめるきれいな方法があります。2つの生涯が重なるのは、それぞれが相手の終わりより後に始まっていないとき、ちょうどそのときです。コードの上では1行です。Aの生年 ≤ Bの没年、かつ Bの生年 ≤ Aの没年。¹

上の対決に当てはめてみましょう。Da Vinci(1452–1519)とMichelangelo(1475–1564)。Michelangeloが生まれたのは1475年で、Leonardoが亡くなる1519年よりずっと前ですし、LeonardoはMichelangeloが亡くなるはるか前に生まれています。重なりは確認され、1475年から1519年までという45年の共有の窓が開きます。ではDa VinciとShakespeareはどうでしょう。Leonardoは1519年に亡くなり、Shakespeareは1564年になるまで生まれません。2つの区間は決して触れ合いません。歴史にそびえる2つの名前でありながら、生と死のありふれた算術はそっけなく告げます。この2人は出会えなかった、と。¹

これをパズルにしている飛躍

2人を判定するのは算術です。ゲームはもっと大きなものを求めます。手札の中から、全員がともに生きていられた最大の集団を、それも2人ずつではなく、たった1つの共通の瞬間において求めるのです。ここで直観は人を惑わせかねません。「この集団の誰もが、ほかの誰とも出会えた」という主張と、「全員が同時に生きていた年が1つあった」という主張が同じだとは、見ただけでは分からないからです。

驚くべきことに、生涯についてはそれが同じ主張であり、ゲームはまさにそこに寄りかかっています。すべての組を確かめる代わりに、集団全体を一撃で確かめるのです。ある集合が共通の年を持つのは、最も遅い生年が最も早い没年より後にならないとき、かつそのときに限ります。集団を並べて、いちばん遅く現れた人と、いちばん早く去った人を取ってください。後から来た人が、最初に去る人より前に現れているなら、全員を収める年が存在します。¹

ゲームが計算しているのは、まさにこれです。集合の中の最大の生年と最小の没年を走査し、最も遅い生年 ≤ 最も早い没年となっているかどうかを調べます。¹ 比較1回が群衆を保証するのです。なぜその近道が通用してよいのかは、名前と年号を持つささやかな数学の奇跡であり、このシリーズの姉妹編が扱う主題です。²

共通する年を見つける

イタリアとドイツのルネサンスの芸術家5人からなる手札を取り上げましょう。その生涯は1445年から1576年にわたります。重なりの判定は、2つの列のあいだの競走にすぎません。生年の列で最も大きな数と、没年の列で最も小さな数との競走です。¹

da Vinci、Dürer、Michelangelo、Titianのうち、最も遅い生年はTitianの1488年、最も早い没年はda Vinciの1519年です。1488 ≤ 1519なので、この4人は1488年から1519年までのすべての年を共有します。余裕のある共通の窓です。そこにBotticelliを加えると窓は縮みますが、まだもちこたえます。彼の1510年の死が最も早い没年になり、1488 ≤ 1510なので、5人は1488年から1510年までの年を共有します。ところが1510年より後に生まれた人を加えると、最も遅い生年が最も早い没年を追い越してしまい、集団は砕けます。このゲームの妙は、どの名前を外すかを知ることにあるのです。¹

上に挙げた年と生没年は、ゲーム自身の人物一覧からそのまま取ったものです。¹

誰もが片手で握れるルール

最良のゲームの仕組みとは、一文で言い表せるのに、1時間かけてもものにできないものです。Contemporariesはそれに当てはまります。ルールは「1年を共有する」ということに尽き、判定は最大値と最小値を比べることに尽きます。得点も同じくらい素朴です。妥当な集団が大きいほど、そして早く見つけるほど点が高く、可能なかぎり最大の集団に一致すればボーナスが付きます。1年も共有しない集団をゲームは受け付けず、提出の前に手直しするよう求めます。集団が確定すると、結果のカードは判定をふたたび年号に戻します。あなたが選んだ人々は全員、そのうちで最も遅い生年から最も早い没年までのあいだ生きていた、と告げ、最大の集団に届かなかった場合には、その集団が何人だったか、そしてそのメンバー全員が生きていた年はいつかを示します。覚え込むべき語彙もなければ、隠された状態もありません。必要なものはすべてカードに刷られています。名前、分野、2つの年、そしてそのあいだの長さです。¹

とはいえ、このルールが生み出すのは、手を伸ばしたい気持ちと現実とのあいだの、本物の緊張です。最大の集団が欲しいので、卓上のカードをすべてさらいたくなります。しかし、新しく1人を加えるたびに、最も遅い生年がより遅くなるか、最も早い没年がより早くなるかのどちらかしか起こらず、その逆は決してありません。追加はどれも、共有の窓を狭める賭けなのです。この1つの正直な制約こそがゲームのすべてであり、それはまるごと、人の一生についての考えうるかぎり慎ましいモデル、すなわち始まった年と終わった年から生まれているのです。¹