Line of Fit

散らばった点と、y = 0 で水平な状態から始まる直線 y = m·x + b が与えられます。スライダーか直線のドラッグで、傾き m と切片 b を設定します。各点からあなたの直線へ赤い残差線が引かれ、どれだけ外れているかを示します。Exact と Best Fit ではプレイ中は誤差が表示されません。目で当てはまりを判断してから Lock in を押します。結果には、あなたの誤差、目標値、正確度、そして狙うべきだった直線が破線で表示されます。

• Exact：4～8 個の点が隠れた直線の上にぴったり並んでいるので、完璧に確定すれば誤差は 0 です。
• Best Fit：8～16 個の点が直線の周りに散らばっているため、すべての点を通る直線はありません。パーは最小二乗直線、つまり残差の二乗和が最小となる直線の誤差です。
• Drift：点が 30 秒間動き続け、あなたはスライダーで直線を点に合わせ続けます。リアルタイムの誤差が表示されます。
• 誤差は残差の二乗和です。各点からあなたの直線までの垂直距離を二乗し、それらを合計します。
• スコア（Exact と Best Fit）：正確度 × (900 + スピードボーナス)。正確度は 1 / (1 + 1 点あたりのパー超過誤差) で、スピードボーナスは 100 から始まり、120 秒後に 0 まで下がります。Drift は、30 秒のうち良好な当てはまりを保てた割合を 1,000 点満点で採点します。
• Give up を押すと最適な直線が表示され、スコアは 0 になります。

Exact では、グリッドから 2 つの点を読み取ります。それが (0, 3) と (2, 4) なら、直線は横に 2 進むごとに 1 上がるので m = 0.5、y 軸と 3 で交わるので b = 3 です。これを設定して確定すると誤差は 0、正確度は 100% です。

Best Fit で、点が 8 個、パーが 15.3 だとします。誤差 23.3 の直線で確定するとパーを 8、つまり 1 点あたり 1 上回るので、正確度は 1 / (1 + 1) = 50% です。スピードボーナスが 75 になる 30 秒後に確定すれば、スコアは 0.5 × 975 = 488 です。

• Daily：チャレンジとレベルごとに、毎日全員が同じ点で遊びます（日付は UTC の午前 0 時に切り替わります）。リーダーボードに記録されるのは、各チャレンジとレベルで最初の Daily だけです。最初の操作をした時点でプレイ済みとみなされます。
• Practice：ラウンドごとに新しいランダムな点が出ます。New を押すと別の点になります。
• レベル 1～5 では点が増え、Best Fit と Drift では散らばりも大きくなります。Daily と Practice には、チャレンジとレベルごとに別々のリーダーボードがあります。

• デスクトップ：傾きと切片のスライダーをドラッグするか、直線そのものをドラッグします。中央をドラッグすると切片が動き、両端をドラッグすると傾きが変わります。納得したら Lock in を押します。
• 携帯電話とタブレット：指でスライダーか直線をドラッグし、Lock in をタップします。グラフの上のボタンをタップすると、チャレンジ、Daily か Practice、レベルを切り替えられます。

• まず切片を設定して直線が点群の中央を通るようにし、次に直線の上と下にある点の数がほぼ同じになるまで傾きを調整します。
• 最小二乗直線は必ず平均点、つまり x の平均と y の平均を通ります（単回帰分析：数値的性質）。点群の中心を見つけ、そこを軸に直線を回転させましょう。
• 二乗するため、大きな外れは小さな外れよりはるかに大きく効きます。長さが 2 倍の残差は 4 倍の誤差になるので、遠くの点を大きく外れたままにしないようにしましょう。
• Exact では、グリッド線の上にある 2 点を読み取り、縦の変化を横の変化で割って傾きを求めます。
• Drift では、傾きを一定に保ち、切片で点群を追いかけます。

Line of Fit は、線形回帰を目で見て体感できるものにします。傾きと切片が何をするのか、残差とは何か、そして最良の直線がなぜ点を通るのではなく点の釣り合いをとるのかがわかります。

• スキル：一次関数、傾きと切片、散布図、残差、最小二乗法
• 最適対象：おおよそ 8～12 年生（13 歳以上）
• 保護者と教師向け：まず目分量で当てはめ、それから最小二乗直線と比べることは公式への良い入り口になります。また Exact のラウンドでは、グラフから傾きと切片を読み取る練習ができます。

このゲームがあなたを評価する基準となる直線は、最小二乗直線である。最小二乗法を初めて明確に説明したのはアドリアン＝マリ・ルジャンドルで、1805 年に彗星の軌道を求める著作の中で発表した。1809 年にはカール・フリードリヒ・ガウスが独自の方法を発表し、1795 年からその方法を持っていたと主張した（最小二乗法：歴史）。1801 年にジュゼッペ・ピアッツィが小惑星ケレスを発見して 40 日間追跡した後、天文学者フランツ・クサーヴァー・フォン・ツァハがケレスを再び見つけることができた予測は、ガウスの最小二乗計算によるものだけであった（最小二乗法：方法）。

回帰という言葉はフランシス・ゴルトンに由来する。彼は 19 世紀に、背の高い祖先の子孫の身長が平均へと戻っていく傾向を表すためにこの語を用いた（回帰分析：歴史）。入力が 1 つ、出力が 1 つの点に 1 本の直線 y = m·x + b を当てはめることを、単回帰分析という（単回帰分析）。

Line of Fit は PlayPendium のオリジナルゲームです。点はシードから生成されるため Daily は全員共通で、比較に使う最小二乗直線は点の組ごとに厳密に計算されます。インストールもアカウントも不要で、ブラウザで動作します。

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