2の数字が並ぶ平らなグリッドと、3だけで組み上げられた立方体との、状態空間の対決。
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どちらのゲームも数字をスライドさせるパズルです。2048では16マスの4×4グリッドを4方向のいずれかに押し寄せ、等しいタイルがぶつかると2倍になり、2のべき乗を昇っていきます。3927では27マスの3×3×3の立方体を6方向のいずれかに押し寄せ、等しいブロックが3つぶつかると3倍になり、3のべき乗、つまり3、9、27という、まさにその名前の数字を昇っていきます。1 どちらが難しいかを問うことは、実のところ、どちらのゲームがより大きな「可能な局面の大海」を隠しているかを問うことです。では、その水の量を測ってみましょう。
盤面の素の大きさは（1マスあたりの記号数）cellsのように増えます。マスの数は指数の位置にあり、てこの力はすべてそこに宿っています。2048のマスは16、3927のマスは27です。1マスあたりの記号の種類を固定すると、立方体はすでにおよそa27−16 = a11倍大きくなります。記号が10種類なら、それだけでほかの何も考慮しないうちから状態が1,000億倍も多くなるのです。本当の原動力は3進法の算術ではなく、増えた1つの次元です。
各マスは空であるか、1つのタイルの値を持つかのどちらかです。256のタイルを上限とする2048では、1マスは9種類の記号のうち1つを語ります。空、それに{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}です。まさにこの記号の種類から組み立てられた、公表済みの上界は、4×4の盤面をおよそ5.63 × 1014局面としており、著者らはこの上限が、実際には決して生じ得ない不正な盤面を含んでいることを率直に認めています。2 3927に同程度の深さ、つまり空と{3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}の8種類の記号を与えると、その素の上限は827 ≈ 2.4 × 1024になります。3進法のおかげで、3927の1マスあたりの記号は2進法の場合より少なくなりますが、11個の余分なマスがその差を取り返して余りあるのです。
値の段をもう少し深くすると、3927の上限は2048の上限を10億倍から1,000億倍ほど上回ります。指数で勝つのは立方体です。
実物大の2048の到達可能な状態を数え上げた人はおらず、3927ならなおさらです。しかし研究者たちは、縮小版の2048の盤面を網羅的に解いており、その厳密な数値が私たちの推定の錨になります。3×3の2048の盤面には到達可能な状態が48,713,519あり、これを4×3に広げると数は1兆を超えて1,152,817,492,752状態に跳ね上がり、手を指した後の異なる局面は739,648,886,170になります。3 マスが1つ増えるたびに、世界は掛け算で膨らみます。この曲線を27マスまで外挿すると、誠実な表ならどんな1つの数も印字できません。
| 項目 | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| 盤面 | 4×4の平面 | 3×3×3の立方体 |
| マス数 | 16 | 27 |
| 記数法の底 | 2 | 3 |
| 合体の規則 | 同じもの2つ → 2倍 | 同じもの3つ → 3倍 |
| スライドの方向 | 4 | 6 |
| 記号数 / マス（深さをそろえた場合） | 9 | 8 |
| 素の上限（不正な盤面を含む） | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| 引用した改良版の上界 | 5.63 × 10¹⁴ | 公表されたものはなし |
| 厳密な数、4×3の部分盤面 | 1.15 × 10¹² | , |
ここに出てくる大きな数はどれも上界か桁の見積もりであり、決して全数調査ではありません。上限の数には、正規のプレイでは決して到達できない盤面、たとえば孤立したタイルが1枚だけの盤面(どちらのゲームも2枚のタイルで始まり、一手ごとに新しいタイルが1枚加わるので、盤面のタイルが1枚だけになることはありません)や、どんな合体の順序でも作れない値を含む盤面も数えられています。2048の数値は査読済みの研究から取ったものですが、3927の数値は同じ方法で計算した私自身の概算の上限であり、「これより大きくはなく、おそらくはるかに少ない」という意味で読むべきものです。両ゲームのルールは想定ではなく、ゲームの設計文書から測ったものです。
状態空間の大きさが地図だとすれば、分岐因子はそれをどれだけ速く歩くかです。各ターンにプレイヤーは方向を選びます。2048では最大4方向、3927では最大6方向なので、立方体は1手あたり50%多くの実質的な選択肢を与えます。そこに偶然が割り込みます。ゲームは新しいタイルをランダムな空きマスに落とすのです。2048は2か4を出すので、最大15個の空きマスそれぞれにおよそ2通りの結果があります。3927は常に3を1つだけ出しますが、その行き先は最大26個の空きマスです。1 決定と偶然を掛け合わせると、3927のゲーム木は1手ごとにより広く扇状に広がります。さらに、3つの合体は2つの合体より起こりにくいため、そのプレイは長く続く傾向があり、木を広くするだけでなく深くもします。
人間にとっての「難しさ」は感覚の問題であり、2048も決して甘くはありません。任意の局面から目標のタイルに到達できるかどうかを判定する問題は、一般の盤面ではNP困難であることが証明されています。4 しかし組合せ論的な対象としては、3927のほうが、誠実に見ても大きな差で、より大きな獣です。指数にはより多くのマスがあり、分岐にはより多くの方向があり、深さにはより長いゲームがあります。その名の由来である3進法の算術は、ほとんど目くらましにすぎません。難しさは3という数にあったのではありません。3つ目の次元にあったのです。
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.