なぜ3なのか

1つの数しか知らない立方体

3927は、2048を3次元で、しかも別の算術で作り直したものです。盤面は27マスの3×3×3の立方体で、立方体全体を6方向のいずれかに押し寄せます。同じ値の3枚のタイルがぶつかると、それらは2倍にはならず、3倍になります。3は9に、9は27になり、さらに81、243、729と続きます。名前そのものが最初の3枚のタイル、3·9·27を数え上げており、設計のあらゆる部分が、どこまでも3でできています。軸ごとに3マス、合体に3枚、成長の倍率が3です。⁴

その祖先は頑固なまでに2進法です。古典的な2048は2の累乗、つまり2、4、8、16…を扱い、タイルを2枚ずつ合体させます。2はコイントス、トランジスタ、ビットの数です。そこで好奇心の強いプレイヤーが自然に抱く問いは、2を3に替えたのは単なる目新しさなのか、それとも3がずっと本物の利点を隠していたのか、ということです。実は数学はこれについて意見を持っており、その意見は驚くほど揺るぎないものです。

数えることのコスト

数を記憶する機械を作らなければならないと想像してください。桁の位置ごとに、歯車や配線や真空管といった何らかのコストがかかり、そのコストは基数に比例して大きくなります。b進法の1桁にはb個の区別できる状態が必要だからです。しかし基数が大きければ、ある数に届くのに必要な桁は少なくなります。ここには緊張関係があり、それには名前があります。基数の経済性（radix economy）です。

形式的には、数Nをb進法で表す経済性は、基数と桁数の積、E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋です。¹ 大きな基数は数を短くしてくれますが、1桁が高くつきます。小さな基数は1桁あたりは安いものの、だらだらと長くなります。両極端のあいだのどこかに最適点があり、それは私たちの技術の大半が落ち着いた場所ではありません。

最適な基数は無理数である

Nが大きいとき、経済性は(b ÷ ln b) · ln Nのようにふるまうので、ある基数の効率はすべてb ÷ ln bという因子にかかっています。少しの微積分でこれを最小化すると、答えは厳密で奇妙なものになります。最も経済的な基数はe、つまりおよそ2.71828なのです。¹ もちろん、1桁あたり2.718個の状態を持つコンピューターは作れません。しかし、どの整数がその理想に最も近いかを問うことはでき、2にも10にも勝つその勝者は3です。

この差は机上の話ではありません。3進法は理論上の最適値から0.5%以内に収まりますが、2進法は6%の割増料金を払い、10進法は60%という壊滅的な割増を払います。実感できる具体例を挙げましょう。0から999,999までのすべての数を書くには、2進法では20桁、10進法では6桁が必要ですが、3進法ではわずか13桁で済み、13×3は20×2より小さな合計になります。¹ 3は本当に、より少ない構造により多くの数え上げを詰め込むのです。

数えるための最も効率的な方法を名指しするよう求められた自然は、無理数で答えました。その答えに最も近い整数が3なのです。

それを信じた機械

これは教科書の中だけの珍しい話ではありません。1958年、モスクワ大学で、ニコライ・ブルセンツォフと数学者セルゲイ・ソボレフが率いるチームが、これまでに作られた中で最も有名な3進法コンピューター、セトゥニ（Setun）を製作しました。³ 西側がビットに傾倒していくなか、セトゥニはトリットで数え、しかも特に美しい方式を使っていました。平衡3進法です。その3つの桁の値は0、1、2ではなく、−1、0、+1です。²

この対称性はすぐに効果を発揮します。数は自分自身の符号を持つので、別個の符号ビットも、2の補数のようなねじれた工夫も要りません。どんな値でも、符号を反転するには単にすべての桁をひっくり返せばよいのです。丸めと切り捨てが同じ操作になります。ドナルド・クヌースはこれを「おそらくあらゆる記数法の中で最も美しいもの」と評しました。² トランジスタを持たなかったブルセンツォフは、対にしたフェライトコアから3つの安定状態を引き出しました。セトゥニはおよそ50台が作られ、その多くはソ連各地の大学で数学を教えるために送られました。³ この機械はちゃんと動き、安価で、ひそかに同時代の機械より先を行っていたのです。

3のほうがより優雅なゲームなのか？

ここは、慎重な書き手が自分を抑えなければならないところです。基数の経済性は、特定のコストの仮定のもとで数を記憶し処理することについての主張であり、数学者たちでさえ、その仮定は近似にすぎないと指摘しています。より完全な勘定をすると2進法がしばしば正当化し直され、だからこそ世界は2進法で動いているのです。¹ 合体パズルは記憶装置ではありません。コーヒーブレイクに真空管の数を最小化しようとする人はいません。ですから3927は、工学的に意味のあるどんな意味でも「より効率的」ではなく、そう言うのはごまかしでしょう。

それでもなお。このゲームは真実の何かを受け継いでいます。3倍ずつの成長は、より少なく、より重みのある手で大きな数に到達します。1回の合体がより多くの仕事をし、3×3×3の立方体は、3枚の融合があらゆる方向で息づける最小の盤面です。⁴ この設計は偶然3にたどり着いたのではありません。電子計算の黎明期から、数え上げの数学がひそかに好んできた整数、セトゥニの技術者たちが意図して選んだ整数に着地したのです。2は私たちが惰性で選んだ数です。3は、コイントスではなく効率が最終的な決定権を持っていたなら、私たちが選んでいたはずの数です。タイルがたまたま3、9、27と綴られるのは、宇宙がすでに語っていたささやかな冗談なのです。