チェスは、奥深さを測る私たちの基準です。ある控えめな設計上の選択が、WordChessにはるかに広大な「ありうるゲーム」の空間を与えています。
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1950年、情報理論の父クロード・シャノン(Claude Shannon)は、チェスで異なるゲームがどれほど可能かを見積もりました。その答えはおよそ10120で、これがシャノン数となり、以来私たちの直感の拠り所となってきました。1 それは物理的な宇宙さえ見劣りさせるほど大きな数です。宇宙に含まれる原子はおよそ1080個にすぎないのですから。6 すべての原子にそれぞれチェス盤を1つずつ与えても、あらゆるゲームを指し尽くすには盤がまったく足りません。
チェスはこの数を正当に稼いでいます。初手で白には20通りの手があり、黒も20通りで応じるので、1往復しただけで局面はすでに400通りになります。6手(半手)目でその数は1億1,900万を超え、10手目には69兆に達します。4 プレイヤーはこれを分岐因子、つまり各手番における合法な選択肢の数と呼びます。チェスではその平均はおよそ35です。2 手を重ねるごとに複利的に積み重なるこの控えめな数こそが、このゲームの神秘を生み出す原動力です。最初の20手で、それは1060のオーダーのゲームを生み出します。チェスの奥深さの源は駒ではありません。分岐なのです。
チェスの序盤の手数は正確にわかっています。WordChessのものは推定値ですが、2つのゲームはあまりにも速く分かれていくので、その差は1手番のうちに見紛いようのないものになります。4
WordChessは穏やかないとこのように見えます。格子の上の単語ゲームで、ナイフでの斬り合いよりもクロスワードに近いものだ、と。その印象はまったくの誤りであり、その理由はルールのたった1行にあります。どのプレイヤーも、100枚そろった完全なタイルセットを持っているのです。7
7枚のラックも、引きの運も、母音を待つこともありません。どの手番でも、プレイヤーは辞書にある148,941語、つまり盤の幅と同じ最長25文字までの単語のほぼどれにでも手を伸ばし、それを置く場所を探すことができます。7 ランダムな7枚のタイルに締めつけられたScrabbleでは、ラックにたまたまあるものからしか単語を組み立てられません。5 WordChessはそのボトルネックを完全に取り除きます。
その結果は激烈です。最初の手番だけで、100万から200万通りの合法な配置、つまり単語と向きと、大きく開けた25×25の盤面上の場所の組み合わせが開けます。両プレイヤーが1回ずつ指しただけで、ゲームはおよそ1兆通りの局面に分岐しています。同じ1往復の後、チェスは400通りです。4
ルールはより単純です。可能性の空間はそうではありません。
目盛りのついた各段は、1つ下の段より40桁、つまり1040倍上にあります。この尺度では、WordChessの最初の20手は宇宙の原子の数をあっさり越えて上っていき、チェスの1ゲーム全体が位置するちょうどその場所に着地します。1
盤面が埋まっていくにつれ、チェスの分岐因子は35ほどまで上がってそこにとどまります。WordChessの分岐因子は数千のままです。すでに置かれた単語はどれも、新たにつなげられる足がかりになり、完全なタイルセットを持っているということは、実質的な制限が、辞書がどの交差を許すかだけになるということだからです。7
これを先へ進めてみましょう。豊かな序盤も含めて、どの手番にも、あえて控えめに1,000通りの合法手しかないとしても、WordChessは最初の20手のうちに10120、つまりシャノン数、チェスの1ゲーム全体の複雑さに到達します。1手番あたり1万通りとすれば(これでもまだ妥当な数です)、20手で10160に迫ります。チェスの1060を60桁から100桁も上回る差です。1
推定を縮めて、プレイヤーが1手番に300通りの合法手、つまり実際の数のごく一部しか見つけないと仮定しても、20手でなお1099になります。それでもチェスを40桁上回っています。この結論は、どれほど悲観的な仮定を与えても揺らぎません。1
チェスの数値は、何十年にもわたる網羅的な計算の産物であり、既知のものです。WordChessの数値は、25×25の盤面、148,941語の辞書、そして各プレイヤーの手にある100枚そろったタイルセットという実際のパラメーターから導いた慎重な推定値であり、大きな誤差幅を伴います。疑いの余地がないのは、その差の向きと規模です。この記事のすべての仮定は控えめになるよう選ばれており、それでも差は途方もなく大きいのです。
チェスはあなたを縛ります。ナイトはナイトとして動き、ポーンは1マスずつ這うように進み、あなたの選択肢は豊かではあっても有限で、見慣れたものです。WordChessは言語全体と盤面全体をあなたに渡し、選べと求めます。それがこの設計の引き換えであり、親しみやすい格子が組合せの大海を隠している理由なのです。
だからといって、WordChessを上手に指すことのほうが難しいと証明されるわけではありません。探索空間が大きいことは、戦略が深いことと同じではありませんし、チェスの天才的なところは、その狭い分岐からどれほど多くの意味を絞り出すかにあります。それでも、単語ゲームを手軽な選択肢だと思っている人は、数学的にはまさに正反対の思い違いをしています。最初の20手に関する限り、WordChessは偉大な王者のゲームをほとんど小さく見せてしまうのです。
Method. "20 moves" means 20 by each player, 40 half-moves, the chess convention. Chess: game count ≈ b40 with b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: opening branching estimated from (playable words that fit through the centre) × (placements per word) ≈ 106 per side; later turns held at a conservative 103–104. The 20-move figures deliberately apply that later-turn b to all 40 half-moves, openings included: b40 ≈ 10120–10160, a floor; counting the two ~106 opening turns adds about six more orders of magnitude (≈10126–10166). The 1099 floor uses b = 300 throughout. These are estimates, not proofs; see "A note on certainty."