組合せの大洋

深さとは分岐であり、駒ではない

1950年、 クロード・シャノン、～の父 情報理論, の父は、チェスの異なる対局がどれだけ可能かを推定しました。彼の答え、およそ 10¹²⁰、は シャノン数となり、それ以来、私たちの直感の拠り所となっています。¹ それは物理的宇宙を赤面させるほど巨大な数字であり、宇宙はわずか 約 10⁸⁰ 個の原子しか.⁶ 収容できない。すべての原子にチェス盤を1枚ずつ与えても、すべての対局を再現するには盤が足りない。

チェスはこれを正当に勝ち取っている。序盤から、白は20手の選択肢を持ち、黒も20手で応じる。たった1回の交換で、すでに 400 の局面が存在する。6手半（3手）で、その数は 1億1,900万を超え、10手では 到達する 69兆.⁴ プレイヤーたちはこれを 分岐係数と呼ぶ。各ターンにおける合法手の数である。チェスでは 平均して約 35.² この modest な数字が、手ごとに複利のように積み重なることで、このゲームの神秘の原動力となる。最初の20手では、およそ 10⁶⁰ の対局数が生み出される。チェスの深みの源泉は駒ではない。分岐である。

400、あるいは1兆

チェスの初期手数は正確に知られている。WordChessの手数は推定値だが、両ゲームの分岐は急速に拡大し、わずか1手以内でその差は明白になる。⁴

チェスの数値は正確な手の生成数（perft).⁴ WordChessの数値は、各側が約100万通りの合法的な初期配置を持ち、その後約1,000通りと保守的に仮定している。詳細は 方法論の注記.

全プレイヤーが全袋を保有する

WordChessは穏やかな従兄弟のように見える。グリッド上のワードゲームで、クロスワードに近く、刃物による戦いとは程遠い。しかし、その印象は完全に誤りであり、その理由はルールにある1行にこそある： 全プレイヤーが100枚のタイルの全プールを保有する。⁷

7枚のラックも、抽選の運も、母音の待ちもない。どの手番でも、プレイヤーは 148,941 辞書にある単語、最大25文字の単語のほぼすべてに手を伸ばし、どこに配置するかを探すことができる。⁷ Scrabbleは、ランダムに配られる7枚のタイルによって制約され、分岐係数はおよそ 35であり、チェスとほぼ同じである。⁵ WordChessは、そのボトルネックを完全に排除する。

その結果は劇的である。最初の一手で、 100万から200万 もの合法な配置が生まれる。単語、向き、そして広大な25×25の盤上の位置。両者がわずか 1回ずつ手を打っただけで、ゲームは 兆 単位の局面に分岐している。チェスでは、同じだけの交換後でも400局面に過ぎない。³

ルールは単純だ。しかし可能性の空間はそうではない。

An entire chess game, before lunch

盤面が埋まると、チェスの分岐率は35に向けて上昇し、その水準を維持します。WordChessの分岐率は数千の範囲に留まり、すでにプレイされた各単語は新たなアンカーとなり、タイルのフルプールがあるため、唯一の現実的な制限は辞書が許可する交差の組み合わせです。⁷

それを前方に実行してください。意図的に保守的な1手あたり1000手の合法手数で、WordChessは到達します 10¹²⁰、シャノンの数、複雑さ entire game of chess, within its first twenty moves. 1手につき1万手まで許可し、それでも合理的であり、20手は上昇に向かって 10¹⁶⁰: チェスに対して40桁から100桁もの差がある 10⁶⁰.¹

推定値を縮小し、プレイヤーが見つけたのは 三百 手あたりの合法な手は、実際の数のほんの一部にすぎず、二十手でもなお 10⁹⁹。それでもなおチェスより四十桁も大きい。この結論は、あなたが提示できるあらゆる悲観的な仮定をすべて生き延きる。¹

複雑性とは、選択から分岐する未来の数のこと

チェスはあなたを制約する：ナイトはナイトとして動き、ポーンは1マスずつ這い、選択肢は豊富ではあるが有限で馴染み深いものだ。WordChessはあなたに言語全体と盤面全体を渡し、選択を要求する。それはデザインが交わす取引であり、友好的なグリッドが組合せ論的な大洋を隠蔽している理由でもある。

これらすべてがWordChessをより 難易度の高いものにするわけではない。より大きな探索空間は、より深い戦略と同じではないし、チェスの天才とは、その狭い分岐からどれほど多くの意味を引き出しているかという点にある。しかし、ワードゲームを軽量な選択肢と想像する者は、数学を完全に逆さまに捉えている。最初の二十手において、WordChessは王たちの偉大なゲームを、ほとんど小さく見せてしまう。